Moving Media Alta Frequenza Di Taglio

Ho bisogno di progettare un filtro media mobile che ha una frequenza di taglio di 7 8 Hz ho usato in movimento filtri medi di prima, ma per quanto ne rendo conto, l'unico parametro che può essere alimentato è il numero di punti per essere media Come può questo riferirsi ad un cut-off frequency. The inversa di 7 8 Hz is.130 ms, e io sto lavorando con i dati che vengono campionati a 1000 Hz questo implica che dovrei essere utilizzando un filtro media dimensione della finestra in movimento di 130 campioni, o c'è qualcos'altro che io sto mancanti here. asked 18 luglio 13 alle 9 52.The lo spostamento del filtro media è il filtro utilizzato nel dominio del tempo per rimuovere il rumore aggiunto e anche per levigare scopo, ma se si utilizza il stesso filtro media mobile nel dominio della frequenza per la separazione di frequenza allora le prestazioni saranno peggior modo in che i filtri nel dominio della frequenza caso d'uso user19373 3 febbraio 16 alle 5 53.The in movimento filtro media a volte conosciuto colloquialmente come filtro vagone ha una response. Or impulso rettangolare , ha dichiarato differently. Remembering che la risposta in frequenza di un sistema a tempo discreto s è uguale al tempo discreto trasformata di Fourier della risposta all'impulso, possiamo calcolare come follows. What abbiamo ri più interessato per il caso è la risposta in ampiezza del Filtro, H omega Utilizzando un paio di semplici manipolazioni, possiamo ottenere che in un più facile da comprendere ricetta del colore non possono sembrare più facile da capire, tuttavia, a causa di Eulero s identità richiamo that. Therefore, possiamo scrivere quanto sopra come. come ho detto prima, ciò che si ri davvero preoccupa è l'entità della risposta in frequenza Quindi, possiamo prendere la grandezza della sopra per semplificare further. Note siamo in grado di rilasciare i termini esponenziali fuori perché don t influenzare la grandezza del risultato e 1 per tutti i valori di omega da xy xy per ogni due finite numeri complessi x ed y, possiamo concludere che la presenza dei termini esponenziali don t influenzano la risposta complessiva grandezza invece, essi influenzano risposta di fase del sistema s. la funzione risultante tra parentesi grandezza è una forma di un kernel di Dirichlet a volte è chiamato una funzione sinc periodica, perché assomiglia funzione sinc un po 'in apparenza, ma è instead. Anyway periodica, poiché la definizione di frequenza di taglio è un po' underspecified - 3 punti dB -6 dB punto primo lobo laterale nullo, è possibile utilizzare l'equazione di cui sopra per risolvere per qualsiasi cosa avete bisogno in particolare, si può fare l'omega following. Set H al valore corrispondente alla risposta del filtro che si desidera alla frequenza di taglio. impostare omega uguale alla frequenza di taglio per mappare una frequenza a tempo continuo al dominio tempo discreto, si ricordi che omega 2 frac pi greco, dove FS è il campione rate. Find il valore di N che ti dà il miglior accordo tra la sinistra e giusti i lati della mano dell'equazione che dovrebbe essere la lunghezza del vostro movimento average. If N è la lunghezza della media mobile, quindi un F frequenza di taglio approssimativo valida per N 2 in normalizzato frequenza F f fs è. Le inverso di questo is. This formula è asintoticamente corretto per N grande, e ha circa 2 errore per N 2, e minore di 0 5 per N 4.PS dopo due anni, qui finalmente qual era l'approccio seguito il risultato era basata sulla approssimare l'ampiezza MA spettro intorno f 0 come una serie parabola di 2 ° ordine in base al. MA Omega circa 1 frac - frac Omega 2.Which può essere reso più preciso vicino al passaggio per lo zero di MA Omega - frac moltiplicando Omega da un coefficient. obtaining MA Omega circa 1 0 907.523 frac - frac soluzione Omega 2. di MA Omega - frac 0 dà i risultati di cui sopra, dove 2 pi F Omega. All di quanto sopra si riferisce alla -3dB frequenza di taglio, oggetto di questa post. Sometimes se è interessante per ottenere un profilo di attenuazione in stop-banda che è paragonabile con quella di un 1 ° ordine IIR filtro passa basso LPF unipolare con un dato -3dB frequenza di taglio ad un LPF viene anche chiamato integratore perde, avente un polo non esattamente DC ma vicino alla it. In infatti sia il mA e il 1 ordine IIR LPF avere 20dB pendenza decennio nella banda di arresto si ha la necessità di una N grande di quello utilizzato nella figura, N 32, per vedere questo, ma che, mA ha nulli spettrale F k N e un evelope 1 F, la IIR filtro ha solo 1 f profile. If si vuole ottenere un filtro MA con funzionalità di filtraggio di rumore simili a quelli di questo filtro IIR, e corrisponde alla 3dB tagliato frequenze essere la stessa, sul confronto tra i due spettri, si renderebbe conto che la fermata ondulazione della fascia del filtro MA finisce up.3dB inferiore a quello dell'ordine IIR filter. In di ottenere la stessa fermata-band ripple cioè stessa potenza di attenuazione del rumore come filtrare l'IIR le formule possono essere modificate come follows. I trovato di nuovo lo script di Mathematica dove ho calcolato il limite per diversi filtri, tra cui quella MA il risultato è stato basato sul ravvicinamento spettro MA intorno f 0 come una parabola in base a MA Omega Sin Omega N 2 Sin Omega 2 Omega 2 pi F MA F circa N 1 6 F 2 NN 3 Pi 2 E derivante all'incrocio con 1 sqrt da lì Massimo 17 gennaio 16 alle 2 08.Frequency risposta del Running risposta in frequenza media filter. The di un sistema LTI è la DTFT della risposta all'impulso risposta. L'elettrodo impulso una L - Sample movimento is. Since media il filtro media mobile è FIR, la risposta in frequenza riduce al sum. We finita può utilizzare il utilissimo identity. to scrivere la risposta in frequenza as. where abbiamo lasciato aej N 0, e ML 1 Potremmo essere interessati nella grandezza di questa funzione per determinare quali frequenze ottenere attraverso il filtro non attenuato e che sono attenuato seguito è un grafico della grandezza di questa funzione per L 4 rossi, 8 verde, e 16 blu l'asse orizzontale varia da zero a radianti al sample. Notice che in tutti e tre i casi, la risposta in frequenza ha una caratteristica di frequenza un componente costante zero passabasso in ingresso passa attraverso il filtro non attenuato determinate frequenze più alte, ad esempio 2, vengono completamente eliminati dal filtro Tuttavia , se l'intento era quello di progettare un filtro passa-basso, quindi non abbiamo fatto molto bene Alcune delle frequenze più alte sono attenuate solo di un fattore di circa 1 10 per il punto 16 media mobile o 1 3 per la media mobile a quattro punto possiamo fare molto meglio di fare quello. Il trama sopra è stato creato dal seguente Matlab code. omega 0 pi pi 400 H4 1 4 1-exp - i omega 4 1-exp - i omega H8 1 8 1-exp - i omega 8 1- exp - i omega H16 1 16 1-exp - i omega 16 1-exp - i omega trama omega, abs H4 abs H8 abs H16 asse 0, pi, 0, 1.Copyright 2000- - University of California, Berkeley. And I utilizzare la seconda risposta nel mio algoritmo per calcolare il 3dB frequenza di taglio del mio filtro, che grandi opere, come la mia lunghezza del filtro è di solito superiore a 300 ho verificato con il passo response. But mi piacerebbe avere una fonte o di derivazione per questo formula. I provato a mano con Taylor serie di arresto dopo il secondo e il terzo termine vengo vicino ma non esattamente alla formula e Mapple mi dà un result. Hope valido, ma estremamente complicato voi ragazzi può help. and è don t bisogno di approssimare qualsiasi sommatoria in questo con un integrale, ma si ha bisogno di approssimare sin 2 con un numero finito di termini della serie di Maclaurin quello che vi serve è una soluzione esatta a questa 2 sin 2 omega0 N 2 N 2 sin 2 omega0 2 e la risposta che ho è, come meglio posso dire, l'approssimazione più vicina facendo le ipotesi minor numero Robert Bristow-Johnson 13 gennaio 16 alle 5 46.Consider una media mobile zero fase di filtri lunghezza N. Even lunghezza operare su sequenze discreti con indici in tempo interi non può essere zero fase Abbiamo aggirato questo abilitando gli indici tempo di uscita per avere sempre una parte frazionaria di frac, in caso di N anche come un esempio del mondo reale, se la voce è stata campionata ogni mezzanotte, la fase di zero media mobile di lunghezza pari sarebbe stato calcolato per ogni mezzogiorno Questa indicizzazione insolito dà comodamente la stessa forma zero fase della risposta in frequenza FN omega sia per N dispari e N even. Unfortunately la risposta in frequenza non ha soluzione simbolico per il -3 dB di taglio omegac frequenza, come sqrt parlando that. Strictly è di circa -3 01 dB, ma penso che s ciò che la gente intende quando si dice -3 dB, perché altrimenti si tratta solo di un numero arbitrario un approssimativo risposta in frequenza cappello N omega utilizza un integrale al posto di una somma. I principali lobi della vera somma e le risposte in frequenza approssimativi integrali convergono in generale N. We in grado di dimostrare la convergenza con l'introduzione di funzioni di GN chi FN omega e cappello N cappello chi N omega con l'argomento normalizzati in modo tale che frac omega, portando la prima zero entrambe le funzioni a chi 1. GN chi è conosciuta come la N - periodic banda limitata impulso formare il proprio limite in generale N e il chi cappello funzione di N sono sia la funzione di testo Purtroppo il -3 dB frequenza di taglio non ha soluzione simbolica l'omega approssimazione cappello N sia per i diversi N, l'approssimazione si differenzia solo dal N 1 approssimazione da un omega mappatura rightarrow omega N, quindi è sufficiente per risolvere il approssimativa -3 dB frequenza di taglio cappello omegac N numericamente per N 1.giving l'approssimativa frequenza di taglio per N. That arbitraria sembra essere un altro, più semplice approssimazione di Massimo s per la vostra N 300 non ci dovrebbero essere problemi ad usarlo Massimo s e costanti questa risposta s sono legati by. I sembrava un po 'più lontano e ha scoperto che Massimo approssima FN omega con cappello M omega, scegliendo M tale che i limiti delle derivate seconde della risposta in frequenza e la partita ravvicinamento a omega 0.This migliora l'approssimazione al piccolo omega che comprende il punto di taglio -3dB, specialmente a piccola N. Massimo s approssimazione sovrastima sempre la frequenza di taglio vedere il confronto errore, lasciando spazio per migliorarla alterando la costante 1 l'errore è il più grande per N 2 Se il suo errore è vincolato uguale al momento secondo più grande errore a N 3, otteniamo un ancora migliore ma solo approximation. This a buon mercato e altre modifiche della costante, come costante 0 863031932778066 lavoro Matt s sorprendentemente bene per N grande vedere il confronto di errore per N grande l'errore scende di un fattore di 1000 per ogni aumento di N di un fattore 10 la spiegazione di queste cose è che la frequenza di taglio vero in funzione di N ha un Laurent series. and il ravvicinamento e la sua serie Laurent are. such che a1 a 2 78311475650302030063992 A3 circa - frac. If la corrispondenza approssimativa nella N - termine è stato reso esatta, l'errore di approssimazione dovrebbe diminuire di un fattore 10 5 per un aumento di grandi N di un fattore 10 I coefficienti ak del Laurent serie fx somma frac di un fx funzione x rightarrow infty possono essere trovate iterativo. Quando non abbiamo fx in forma simbolica, ma in grado di risolverlo numericamente a qualsiasi precisione molto grande x, possiamo fare l'equivalente della procedura di cui sopra numericamente il seguente script Python che utilizza SymPy e mpmath calcolerà un dato numero qui 10 dei primi coefficienti AK in precisione desiderata per la serie Laurent del vero cutoff frequency. On computer esegue il programma per circa 7 minuti e stampa la seguente, che mostra che la serie Laurent consiste solo di numeri negativi powers. These dispari, mostrato a 24 cifre decimali, non sono da approssimazione nel senso che la serie Laurent è unica non c'è altra serie di Laurent equivalente omegac N Utilizzando solo a1 e a3, un semplice troncato serie ravvicinamento Laurent due termine può essere constructed. and by c - frac la approximation. Both hanno 1 N 5 errore di decadimento in generale N, vedere colonne di confronto errore h e I, rispettivamente, una serie di Laurent più troncato con più termini di uscita dello script s decadimenti ancora più veloce, 1 N per il 5 termine approssimazione a colonna j nell'errore comparison. up freccia da me, Olli. but per qualche ragione, credo che la risposta è molto più semplice di solito mi piace progettare acausali filtri FIR simmetrici, perché sono pari a zero fase, ma di solito mi limito a un numero dispari di diverso da zero rubinetti per fare questo, più in generale, potrei aderire alla FIR causale movimento s average. let dicono che il numero di rubinetti è N. applying - Trasformazione mathcal e la somma geometrica formula. substituting z leftarrow e per ottenere il DTFT. normally noi chiamiamo la cosa che moltiplica X z il trasferimento function. and la cosa che moltiplica X e, il fattore di frequenza risposta. L'elettrodo e significa un a fase lineare, costante ritardo dei campioni frac non cambia il frac gain. the fattore è il fattore di guadagno della frequenza -3 dB, omegac, normalmente si intende la frequenza dB -3 0103 perché che corrisponde alla frequenza di metà potenza è tale che. 2 sin 2 omegac N 2 N 2 sin 2 omegac 2.so dato il numero di rubinetti N, è necessario risolvere per omegac che potrebbe non essere così facile da fare per una forma chiusa, ma si può scavare fuori la calcolatrice e plug and chug fino ad ottenere una risposta che ha sufficiente precisione o si può ottenere MATLAB per fare it. A approssimazione decente per omegac può essere avuto per gran N utilizzando un'identità trig quella che comunemente uso quando im giocherellare con la bilineare trasformare e le prime tre i termini per la serie di Maclaurin per cos. if si collega in quella approssimazione per il peccato 2 nell'equazione precedente e risolvere saltare un passi Lotta perché io sono troppo pigro al lattice è out. Olli, quanto bene si confronta al tuo results. doing questo uno migliore con un altro termine per il ravvicinamento del peccato 2, è fattibile, richiede solo una soluzione quadratica per omega0 2 al ravvicinamento di utilizzare mantenere i primi quattro termini della espansione cos is. try che approssimazione e risolvere per omegac 2.the più consistente risposta ottengo is. with l'opzione sembra like. and con l 'opzione - sembra like. which è molto più vicino al approssimazione del primo ordine che ho fatto sopra quindi credo che avrei preso il - option. so, anche se non posso dico analiticamente perché l'opzione deve essere respinta, Credo che la mia risposta più precisa sarebbe be. which ha il limite, per la grande N, mostrato above. does chiunque altro ha un modo migliore per guardare una buona soluzione approssimata in forma chiusa a questo. ultima Tweek su questo prima di ritirarsi al ravvicinamento sin 2 theta circa theta 2 con 1 - frac theta 2 frac teta 4 a destra in realtà dovrebbe essere un bene per tutti 0 le theta le frac modo per realizzare questo obiettivo e per rendere il comportamento continuerà ad essere vero bene a teta ll 1, dovremmo fudge il coefficiente scorso, frac, di essere frac in modo che il ravvicinamento è buono per il peccato 2 frac sinistra doesn T aumentare la complessità, ma potrebbe fare per una risposta migliore Robert Bristow-Johnson 13 gennaio 16 a 6 27. frac è in realtà un treno di impulsi a banda limitata in modo da approssimare con una funzione di testo come nella mia risposta è precisa entro la precisione di 2 78311475650302030063992 nel limite di grande N in cui il frac omega0 dà circa 0 88 volte il vero cutoff e il diritto omega0 sqrt dà circa 1 035 volte il vero cutoff Penso che se si vuole fare una migliore approssimazione si dovrebbe includere che lungo costante Olli Niemitalo 13 gennaio 16 alle 8 46.Robert, è necessario utilizzare il segno - in quadratica equazione formula, perché questo dà la soluzione in cui la serie di Taylor ancora un po 'approssima la funzione originale l'altra soluzione è valida solo per il polinomio di Taylor, ma non a tutti per la funzione originale, perché per quel valore più grande, il polinomio di Taylor doesn t anche venire vicino alla funzione originale più così per un'espansione di Taylor attorno x0 0, normalmente deve scegliere la soluzione più piccola grandezza, perché che s quello in cui il ravvicinamento funziona meglio Matt L 13 gennaio 16 al 14 23.Let s confrontare l'attuale errori numerici per le diverse approssimazioni della frequenza di taglio l'errore riportato nella tabella viene calcolato sottraendo il vero numericamente risolto -3 dB omegac frequenza di taglio dai approximation. Notes l'approssimazione e non consente N 2 Alcuni degli errori sono elencati come 0 , ma significa solo la loro grandezza è inferiore a circa 1E-17 che e altre imprecisioni consentiti sono compresi tra uso di doppia precisione aritmetica in virgola mobile nel calcolo della approssimazione e la error. Feel libero di modificarla aggiungere un'altra approximation. OK, questo è divertimento ho intenzione di aggiungere i miei pensieri e le approssimazioni, il primo dei quali risulta essere identica a quella data dal Massimo in questa risposta e quella derivata da Olli in questa discussione ho ancora includo qui perché la sua derivazione è diverso Poi I ll mostrano una migliore approssimazione, che ha un errore massimo relativo di 0 002 per N 2 per qual caso naturalmente abbiamo una soluzione analitica per l'esatta frequenza di taglio omegac pi 2, e per cui l'errore relativo è minore di 1 2 cdot 10 per N ge 10.It è ben noto, ed è stato dimostrato da Olli e Robert nelle loro risposte, che la funzione di ampiezza a valori reali di lunghezza movimento filtro a media N è dato by. The 3 dB omegac frequenza di taglio satisfies. As quanto ne so non esiste una soluzione analitica ragionevolmente semplice per EQ 2 la chiave per le approssimazioni qui presentato è - non a caso - una approssimazione di Taylor la differenza tra la serie di Taylor utilizzato nella risposta di Robert s è che non lo faccio separatamente approssimativa le funzioni seno o dei loro valori squadrate come nelle risposte Robert s, ma mi si avvicinano direttamente la funzione di ampiezza completo dato in 1 approssimare peccato N omega 2 o il suo valore al quadrato si tradurrà in errori più grandi rispetto a quando è approssimata la funzione completa, perché l'argomento N omega 2 non si avvicina a zero, anche per i grandi valori di N Approximating solo il denominatore peccato omega 2 o il suo valore al quadrato è OK, perché la sua omegac argomento omega fa approccio a zero per N grande Comunque, userò nessuno dei due approssimazioni, ma io utilizzerà il serie di Taylor di HN omega per la notazione più semplice I ll uso x omega 2 e FN x HN omega la serie di Taylor di FN x intorno x0 0 è dato by. For grandi valori di N, questa approssimazione è legittima perché il cut-off omegac frequenza tende a piccola values. For prima approssimazione io uso solo i primi due termini in 3.Solving 4 dà un primo problema approssimativa solution. The con questa soluzione è che si tratta di parte, il che significa che il suo errore doesn t convergono a zero per N grande Tuttavia, si scopre che da una semplice scala di 5, di parte questo può essere rimosso per pregiudizi zero si require. where ho usato la notazione omega N per sottolineare la sua dipendenza da N Soluzione 6 con gli Stati Uniti expression. leads generali per il equation. which deve essere risolto numericamente per il by-ormai famoso approssimazione solution. The 7 con una data dal 9 è identica alla formula Massimo s si deve dividere per 2 pi greco per ottenere il suo costante magica, ed è anche lo stesso come quella derivata da Olli in modo diverso in questa discussione vediamo che un'approssimazione Taylor ci ha dato la forma corretta dell'equazione, ma la costante doveva essere determinato da un processo limite al fine di ottenere una formula con polarizzazione zero per una più Ai fini pratici, questa formula è sufficientemente accurata con un errore relativo massimo di 6 9 cdot 10 per N ge 10 Uso tutti i termini nella approssimazione 3 ci darà un'approssimazione ancora migliore il processo è esattamente lo stesso di prima abbiamo impostato il ravvicinamento Taylor FN x uguale a 1 sqrt e risolvere per xc ci sono solo anche potenze di x, quindi abbiamo solo bisogno di risolvere un'equazione di secondo grado Questo ci dà la seguente formula. Note che delle quattro soluzioni dell'equazione di quarto grado, dobbiamo scegliere la più piccolo dei due quelli positivi, perché che s il valore in cui la serie di Taylor avvicina molto FN x l'altra soluzione positiva è un manufatto in un intervallo in cui la serie di Taylor diverge dalla FN x l'approssimazione 10 ha lo stesso problema piccolo come la prima versione del precedente approssimazione in 5 dal fatto di avere una piccola distorsione questo pregiudizio può essere rimosso esattamente nello stesso modo di prima considerando il limite 6, questa volta con omega N My ravvicinamento finale basato su 10 ma con lo zero polarizzazione è dato da. dove B possono anche essere ottenuti risolvendo un'equazione simile a 8 Si può effettivamente essere scritta in termini di un dato da 9. b frac sqrt -1 0 997.314.251.642.175 tag i calcolato il valore esatto di omegac numerico per N nel range 2.100, così ho potuto calcolare la relativa error. which permette il confronto delle diverse approssimazioni omega i ll discutere solo le approssimazioni con lo zero pregiudizi omega data dal 7 con una data del 9 e omega fornite dal 11 e 10, con b data dal 12 la figura seguente mostra i relativi errori come definito da 13 come funzione di N la curva rossa è l'errore relativo di approssimazione 7, e la curva verde è l'errore di approssimazione 11 sia ravvicinamento avere zero polarizzazione convergono i valori esatti per N grande, ma la curva verde converge in modo significativo faster. The formule zero polarizzazione mostrati sopra sono approssimazioni decenti alle effettive frequenze di cut-off, ma la meglio formule 10,11,12 è molto scomodo Olli ha avuto la grande idea di modificare il denominatore costante la semplice formula 7 finché si usa il valore ottimale di una determinata dal 9, siamo in grado di cambiare il denominatore costante, senza perdere la proprietà zero pregiudizi Così otteniamo un nuovo formula. with una costante c per essere ottimizzato Se ho capito bene, Olli basato la sua ottimizzazione della C sul valore di errore per N 2 Tuttavia, penso che il valore di N 2 non è molto rilevante perché per N 2, omegac può essere calcolato analiticamente omegac 2 pi 2 Così don t necessariamente bisogno di ottimizzare la formula 14 per il caso N 2 se si va a scapito della approssimazione a valori maggiori di NI ottimizzata la costante c in 14 nel modo seguente Se omegac N sono le esatte frequenze di taglio per un dato insieme di filtro lunghezze N, abbiamo un sistema sovradeterminato di equations. where possiamo scegliere qualsiasi ragionevole insieme di valori per N Riorganizzare 15 dà un altro insieme di equazioni, questo tempo lineare nella sconosciuta ottimale soluzione ai minimi quadrati c. The di 16 is. where L è il numero di valori diversi per N utilizzata per la somma Se si utilizza tutti i valori interi di N nella gamma 2100 si get. which è vicino al valore di Olli s, ma che dà un'approssimazione ancora migliore per tutti N ge 3 ho aggiunto i valori di errore per questa colonna della tabella f. In la sua risposta, Robert si chiedeva il motivo per cui egli deve scartare la seconda soluzione positiva più grande per omegac quando si utilizza un quarto ordine serie di Taylor per il peccato 2 x la figura seguente mostra la ragione per la funzione di ampiezza quadrato originale è mostrata in blu per N 10 The linea di 3dB è in rosso la funzione verde è il ravvicinamento Taylor, che attraversa la linea rossa per due volte queste sono le due soluzioni positive per omegac Poiché la funzione è ancora, abbiamo anche gli stessi due soluzioni con segni negativi, il che lo rende quattro, come dovrebbe essere il caso per una quarta polinomio di ordine Tuttavia, è ovvio che la più grande delle due soluzioni positive è un artefatto dovuto alla divergenza del ravvicinamento Taylor per argomenti più grandi Così è solo la soluzione più piccola che ha un senso, l'altro doesn tI fornire un'altra risposta, perché questo approccio è completamente diverso, nel senso che io non cerco di approssimare la funzione di ampiezza del filtro s per calcolare una approssimazione della frequenza di cut-off, ma io uso un approccio raccordo di dati puri dato il cut esatto off frequenze, calcolate numericamente e che sono anche dati per una serie di lunghezze del filtro nella colonna più a sinistra di questa table. With dati raccordo, spesso il problema più difficile è trovare una corrispondente parametrizzazione della funzione approssimante Dato dalle altre risposte in questa discussione sappiamo that. with costanti opportunamente scelto un e C è un sorprendentemente buona approssimazione per una vasta gamma di valori di N, e dal momento che Wolfram Alpha ci dice che lo sviluppo in serie di Laurent di 1 a N infty ha solo i conti con poteri strani di 1 N, sembra ragionevole parametrizzare la frequenza di taglio da una serie di Laurent con poteri dispari di 1 N. We può calcolare il valore esatto di a1 in 2 dal requisito che la stima cappello c N ha zero pregiudizi, vale a dire che converge al vero frequenza di taglio per la grande N Questo è spiegato nella mia altra risposta il suo valore è. Le altre costanti a 2 può essere calcolato da un minimi quadrati di 2 ai dati, che sono le esatte frequenze di cut-off i minimi quadrati può essere calcolato dalla seguente semplice script Matlab Octave assumendo il wc variabile è un vettore con esatte frequenze di taglio pre-calcolate per il set desiderato di lengths. The filtro risultante coefficienti sono. iniziare a3 1 201.014.809.636.180 A5 0 768.735.238.011.194 A7 0 514.237.034.990.353 A9 0 548.681.885.931.852 end. with a1 data dal 3 Questa approssimazione viene molto vicino ai valori esatti di omegac L'errore di approssimazione può essere trovato in questa colonna della tabella g.